Logaritmos

Conoce los logaritmos: su definición, propiedades de los logaritmos y algunos ejercicios resueltos a modo de ejemplo.


Definición de logaritmo

Los elementos que posee un logaritmo son la base, el argumento, y el resultado. A continuación, aparecen indicados:

Logaritmos

En matemáticas los logaritmos cumplen la propiedad de que la base elevada al logaritmo va a ser igual al argumento, eso es lo que se llama la definición o la propiedad fundamental de un logaritmo.

Propiedad fundamental de un logaritmo.

Nota: Si la base del logaritmo no aparece indicada se asume que este logaritmo posee como base el número 10.

Consecuencias de la definición

  • Si el argumento es 1 el resultado del logaritmo es cero, independiente de cual sea la base.
  • Si la base y el argumento son iguales el resultado del logaritmo es 1.
  • El argumento debe ser positivo, no puede ser ni cero ni negativo.

 Ejercicios resueltos de logaritmos

1.- Suponga que se tiene el siguiente logaritmo log_{2} 8=x, obtenga el valor incógnito.

Aplicamos el teorema fundamental del logaritmo que se trató anteriormente, el cual nos dice que la base del logaritmo elevada al logaritmo va a ser igual al argumento.

Por lo tanto tenemos que:

2^{x}=8

Como también se sabe que2^{3}=8 (aplicando la definición de potencia), por lo tanto tenemos que:

2^{3}=2^{x}

Ahora nos que una ecuación exponencial en la cual sus bases son iguales por lo tanto simplemente se puede igualar sus exponentes como sigue:

X=3

2.-Suponga que se tiene el siguiente logaritmo log_{5}X=4, calcule la incógnita.

Para la resolución de este problema se aplica la propiedad fundamental del logaritmo la cual establece que la base elevada al logaritmo va a ser igual al argumento.

Por lo tanto:

5^{4}=x

Desarrollando la potencia se tiene:

X=5*5*5*5=625

3.- Suponga que se tiene el siguiente logaritmo: log_{x}100=2 , calcule el valor de la incógnita.

Primero se aplica la definición de logaritmo que establece que:

x^{2}=100

Para calcular la incógnita se extrae raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación con lo que esta queda de la siguiente manera:

x=\sqrt{100}=10

Propiedades de los logaritmos

En los logaritmos existen algunas propiedades las cuales son útiles a la hora de realizar cálculos.

A continuación se presentan en detalle:

  • El logaritmo de un producto(o una multiplicación) es igual a la suma del logaritmo de cada uno de sus factores.

loga+logb=log(a*b)

  • El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor.

loga-logb=log\frac{a}{b}

  • El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

log a^{b}=b*loga

  • El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el sub-índice.

log\sqrt[n]{a}=\frac{loga}{n}

  • Propiedad de cambio de base, es posible cambiar la base de un logaritmo aplicando la siguiente igualdad.

log_{b}a=\frac{log_{k}a}{log_{k}b}

Donde k es cualquier base valida.

Ejercicios resueltos

1.-Calcule el valor de la expresión: log_{2}2^{4}

Primero se aplica la propiedad del logaritmo de una potencia la cual establece que cuando se tiene el logaritmo de una potencia se puede calcular como el producto entre el logaritmo de la base y el exponente.

log_{2}2^{4}=4*log_{2}2

Ahora aplicando una de las consecuencias de la definición que establece que si la base y el argumento son iguales el logaritmo tiene valor 1 tenemos que:

log_{2}2^{4}=4*1=4

2.-Considerando que log 2=0.30 y log 3=0.47 calcule el valor de: log 6

Como se sabe que 6 es igual a 2*3 tenemos que

Log 6=log ( 2*3)

Ahora se puede aplicar la propiedad del logaritmo de un producto la cual establece que si se tiene el logaritmo de un producto éste es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores:

Log (2*3)=log 2+log 3=0.3+0.47=0.77

3.-Considere el siguiente logaritmo log(0.7) obtenga su valor si se sabe que log 7 =0.85

Se puede escribir el decimal 0.7 como una fracción tal como sigue:

log 0.7=log\frac{7}{10}

Luego aplicamos la propiedad para logaritmo de un cociente como sigue:

log\frac{7}{10}=log7-log10

Ahora como el logaritmo de 7 fue entregado por el problema y el logaritmo de 10 es uno por la consecuencia de la definición que establece que si la base y el argumento son iguales el valor del logaritmo es 1.

Ahora la resta nos queda de la siguiente manera:

log(0.7) =0.85-1=-0.15