Cómo vibra una cuerda

Conoce los direfentes modos de vibración de una cuerda, modo fundamental y armónicos.


La onda producida en una cuerda es una onda estacionaria ya que no viaja libremente, sino que usa un espacio limitado en el espacio. Este tipo de onda se forma cuando una perturbación llega hasta un punto fijo y se refleja, la superposición de ambas forma una onda que pareciera estar fija; observamos este tipo de ondas en las cuerdas de una guitarra, la membrana de un tambor y otros. Como los extremos dela cuerda están fijos, sólo podrá vibrar con algunas frecuencias permitidas, a estas frecuencias se les conoce como armónicos.

Modos de vibración

Tal como su nombre lo indica, los modos de vibración de una cuerda son las formas en que puede vibrar una cuerda cuyos extremos están fijos; estas formas de vibración producen ondas estacionarias con formas específicas y un sonido característico, propio de la frecuencia con que esté vibrando.

Llamaremos ‘nodo’ a los puntos fijos de la onda, es decir puntos cuya amplitud es cero en todo momento; como ambos extremos de la cuerda están  fijos, ellos deben ser nodos en cada uno de los modos de vibración. Este es el requisito esencial para determinar las formas de vibración permitidas para la cuerda.

La forma más básica de vibración se obtiene con la frecuencia mínima o fundamental (fo), cuando la cuerda tiene esa frecuencia de vibración diremos que está vibrando en su modo fundamental o primer armónico (n=1). En el modo fundamental sólo es posible ver media longitud de onda en la cuerda, es decir, un nodo una cresta y un nodo o un nodo un valle y un nodo.

Los demás modos de vibración también deben tener nodos en los extremos, por lo que sus frecuencias serán siempre múltiplos enteros de la frecuencia fundamental; a todos los demás modos se les denomina armónicos (n=2, 3, 4, 5,…).

La frecuencia de cada armónico de calcula mediante la siguiente fórmula:

fn=n*fo

Dónde:

  • fn: frecuencia de vibración del modo n
  • fo: frecuencia fundamental

Como habíamos mencionado anteriormente, en el modo fundamental sólo es posible vislumbrar media longitud de onda, por lo tanto, si quisiéramos relacionar el largo de la cuerda (L) con la longitud de onda en el modo fundamental tendríamos que:

[l]=2L

Una expresión general de esta relación, válida para todos los modos de vibración es:

[l]=2*(L/n)

En la siguiente imagen se muestran los modos de vibración de una cuerda hasta el séptimo armónico con sus respectivas longitudes de onda, la línea horizontal en rojo es el eje de equilibrio, la línea negra más oscura es la posición de la cuerda en un instante y las más claras  muestran sus otras posiciones de vibración.

armonico

Además de expresiones para determinar la frecuencia y longitud de onda de cada uno de los modos permitidos, es posible establecer la velocidad de propagación de la onda en la cuerda mediante la siguiente expresión:

velocidad

Dónde:

  • T: tensión de la cuerda
  • u: densidad lineal (masa de la cuerda[kg]/largo de la cuerda [m])

El principio de los modos de vibración es usado en la mayoría de los instrumentos de cuerda y percusión para emitir ondas (sonidos) con las frecuencias deseadas.

NOTA IMPORTANTE: Aquí, como en muchos de los libros dedicados a este tema, llamamos modo fundamental o primer armónico a la forma básica de vibración (n=1) y segundo armónico al modo siguiente (n=2). Sin embargo existen algunos textos que denominan modo fundamental al primer modo de vibración (n=1) y primer armónico al segundo modo (n=2).