Ecuación cuadrática

La ecuación cuadrática nos permitirá establecer las soluciones o raíces de una función cuadrática. Se analizará la demostración de la fórmula de Báscara, además de la correcta utilización del método de factorización.


¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es cuando igualamos a cero la función cuadrática, en otras palabras, es la representación matemática de cuando la imagen de la función cuadrática es igual a cero.:

 \ ax^2+bx+c = 0, con a,b,c enteros y a distinto de 0.

Método de factorización

Este método se utiliza para encontrar las soluciones, raíces o ceros de una ecuación cuadrática, se debe buscar dos números que sumados nos den un número y que multiplicados nos den otro número.  Luego los números encontrados se remplazarán en la factorización de binomios que veremos a continuación.

Analicemos el siguiente ejemplo:

\ x^2 + 6x + 5 = 0

Dos números que sumados den el valor de 6 y que multiplicados den el valor de 5. Los valores serán 1 y 5. Luego escribimos los valores en la factorización, quedando la siguiente expresión:

\ (x+1)(x+5) = 0

Un error común es creer que las soluciones son 1 y 5. Sin embargo, las soluciones serán los valores de x=-1 y x=-5, puesto que estos valores determinan la igualdad anterior. Es importante reemplazar los valores en la ecuación para comprobar los valores obtenidos.

 Este método es muy rápido y fácil, sin embargo es conveniente cuando las soluciones son enteras, debido a que si no lo fueran se complicarían muchos los cálculos, que de preferencia deben ser mentales. Existe otro método para encontrar las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática que es la fórmula de Báscara.

Fórmula de Báscara

Esta fórmula es una herramienta matemática para encontrar las soluciones, raíces o ceros de una ecuación cuadrática.
A continuación la demostración de la fórmula de Báscara paso a paso.

 \ ax^2+bx+c = 0   se multiplica por \ 4a,

 \ 4a^2x^2+4abx+4ac =0   se sumará \ b^2,

 \ 4a^2x^2+4abx+4ac + b^2 = b^2 reordenamos la expresión anterior,

 \ (2ax)^2 + 4abx+ b^2 = b^2-4ac factorizamos antes de la igualdad,

\ (2ax+b)^2=b^2 - 4ac    calculamos la raíz cuadrada,

\ 2ax +b = \pm \sqrt[2]{b^2-4ac}  restamos b,

\ 2ax = -b \pm \sqrt[2]{b^2-4ac}  finalmente dividiremos por 2a.

 \ x=\frac{-b \pm \sqrt[2]{b^2-4ac}}{2a}

 Con esta fórmula podemos encontrar soluciones racionales e irracionales de manera segura. Las soluciones de la ecuación cuadrática serán:

\ x=\frac{-b + \sqrt[2]{b^2-4ac}}{2a}   y    \ x=\frac{-b - \sqrt[2]{b^2-4ac}}{2a}

Discriminante

El discriminante nos dice la cantidad de soluciones reales que tiene la ecuación cuadrática. Tenemos:

  • Si \Delta > 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones reales.
  • Si  \Delta = 0 entonces la ecuación tiene una sola solución real.
  • Si \Delta < 0 entonces la ecuación no tiene soluciones reales.

La ecuación cuadrática nos sirve para poder trabajar y graficar adecuadamente la función de segundo grado tomando en cuenta los elementos que puedes revisar en el capítulo de Función cuadrática. Además, se puede interpretar soluciones de una función cuadrática en contextos modelados bajo la ecuación cuadrática.