Función Exponencial

Modelaremos la función exponencial a partir de sucesos cotidianos en donde denotaremos el funcionamiento y la forma de la función. 


¿Qué es una función exponencial?

Una función potencia es una función que tiene la siguiente forma:

\ f(x)= a^x, donde “a” es un real positivo distinto de cero y “n” es un real positivo distinto de uno.

La función será creciente si a>0.

La función será decreciente si a<0.

La pregunta es:
¿ En que contexto analizamos o hemos visto la función exponencial? Podemos analizar el crecimiento bacteriano!!

“Una población de bacterias “r” de una muestra determinada triplica su número al pasar un día”

Para modelar es recomendable generar una tabla de datos para analizar en detalle como va evolucionando la función.

Bacterias Día

\ r3^0

0

\ r3^1

1

\ r3^2

2

\ r3^3

3

.

.

.

.

.

.

\ r3^n

n

 

Vamos analizando que al pasar un día se triplica la cantidad de bacterias del día anterior, por lo tanto, si queremos calcular la cantidad de bacterias al pasar una cantidad “n” de días debemos fijar una expresión que nos permita encontrar el resultado sin realizar una tabla o una multiplicación tediosa. La expresión general de la función será:

 \ f(x)= r3^n

Donde “r” es la cantidad inicial de bacterias y “n” la cantidad de días que pasarán. Además, esta función es creciente y su gráfica es así.

 Supongamos una cantidad inicial de 10 bacterias.

imagen bacterias

Analicemos que pasará en el siguiente ejemplo.

“Una pelota de fútbol cae desde una distancia “d”, al dar un bote alcanza la mitad de la altura de la distancia anterior, sucesivamente en cada bote”

Para modelar debemos generar una tabla de datos para analizar en detalle como va evolucionar la función que trataremos.

Distancia

Bote

(\frac{1}{2})^0d

0

(\frac{1}{2})^0d

1

(\frac{1}{2})^0d

2

.

.

.

.

.

.

(\frac{1}{2})^0d

n

 

A cada bote se va disminuyendo a la mitad la altura es decir, va disminuyendo bote a bote. Si queremos calcular la altura a la que estará el balón, podemos establecer una expresión general de la función:

f(x)= (\frac{1}{2})^n d

Donde “n” es el número de botes de la función. Además, es una función decreciente y la gráfica se ve de esta manera.

 Supongamos que la distancia es de 64 metros.

Imagen Botes

Las funciones exponenciales sin factores asociados pasan siempre por el punto (0,1), como en el ejemplo de las bacterias.

Recuerda que las  funciones se pueden modelar y trabajar desde la perspectiva propia, busca situaciones cotidianas en donde se refleje la función exponencial, eso te ayudará a fijar y reconocer de mejor manera ésta particular función.