Medidas de dispersión

Conoce los conceptos de: rango, varianza, desviación estándar y desviación media, definición , fórmula; sus propiedades y ejercicios resueltos.


En estadística se usan estas medidas para interpretar la variabilidad de una cierta cantidad de datos con respecto a la media o promedio, a continuación se analizarán las más importantes.

Rango, recorrido o amplitud

El rango se define como la diferencia entre el valor mayor y el menor que toma una variable se designa con la letra R.

Ejemplo

Los valores de la cantidad de goles por partido en una cantidad de 8 partidos de un equipo de fútbol es: 0,2,1,3,1,1,6,2.

Determine el rango o recorrido de la variable “goles por partido”:

De acuerdo a lo señalado anteriormente para el cálculo del rango se realiza la diferencia entre los valores extremos que toma la variable que son 0 y 8

R=6-0=6

Por lo tanto el rango es 6 goles por partido.

Varianza

Varianza se puede definir como el promedio del cuadrado de las desviaciones con respecto a la media aritmética de una variable estadística, se denota con la letra griega σ^2.

Se calcula con la siguiente ecuación:

\sigma ^{2}=\frac{\sum (Xi-X)^{2}}{N}

Donde X representa al promedio ,Xi representa a cada dato y N representa el número total de datos.

Nota: Al extraer la raíz cuadrada de la varianza se obtiene la desviación estándar(σ).

Ejemplo

La edad de un grupo de 11 personas de una iglesia son las siguientes:32,45,34,48,67,40,31,29,17,57,34. Determine la varianza de los datos.

Primero se procede a calcular el promedio o media aritmética, el cual se calcula como la suma de todos los datos dividido por el número de datos que son:

x=\frac{(32+45+34+48+67+40+31+29+17+57+34)}{11}= 39.45

luego se calcula la diferencia entre cada dato y el promedio, luego esa diferencia se eleva al cuadrado y se suman todas las diferencias, finalmente se dividen por la cantidad de datos.

σ^2=(55.50+30.80+29.70+73.10+759.00+0.30+71.40+109.20+504.00+308.00+29.70)/10=197.07

Desviación estándar

Se denota con la letra griega σ (sigma) o simplemente con la letra S, cómo se mencionó anteriormente se calcula como la raíz cuadrada de la varianza , representa lo que se alejan los valores de cierta cantidad con respecto a la media aritmética o promedio, su ecuación o fórmula es la siguiente:

S=\frac{\sum (Xi-X)}{n}

Donde “Xi” representa cada dato, “X” corresponde al promedio de todos los datos y “n” corresponde al número total de datos.

Ejemplo

Las notas de un grupo de alumnos de un colegio en una prueba de matemáticas fueron:

30;50;40;60,60,50,70,70,40,70 , determine la desviación estándar o desviación típica de los datos.

Primero que todo se debe calcular el promedio de los datos sumando los valores y dividiéndolo por el número que son:

X=\frac{540}{10}

Luego a cada dato se le debe restar el promedio y elevar esta diferencia al cuadrado

\sigma =\sqrt{184}=13.56

Así queda calculada la desviación estándar.

Desviación media

La desviación media corresponde al promedio de las desviaciones de un conjunto de datos con respecto a la media.

Se calcula con la siguiente ecuación:

Dm=\frac{1}{N}*\sum |Xi-X|

Ejemplo

Suponga que las edades de un grupo de jóvenes son las siguientes:18,20,34,26,17,14,30.

Calcule la desviación media de los datos.

Antes que todo se calcula el promedio o media aritmética de los datos ,sumándolos y luego dividiendo el resultado por el número de datos.

X=\frac{18+20+34+26+17+14+30}{7}

Luego se calcula la diferencia de cada dato con el promedio en valor absoluto y luego se suman las diferencias , que sea en valor absoluto significa que siempre será positivo , después de eso el resultado se divide por el número de datos.

Dm=\frac{|18-22.71|+|20-22.71|+|34-22.71|+|26-22.71|+|17-22.71|+|14-22.71|+|30-22.71|}{7}Dm=6.24

Y así queda calculado el valor de la desviación media.