Productos Notables: binomios y trinomios.

Conoce más sobre los productos notables, binomios y trinomios.


Definición.

Los productos notables son multiplicaciones utilizando términos algebraicos. Antes de partir, es importante aclarar algunas cosas en relación al uso del lenguaje:

  • Se utiliza el concepto de “nomio” para decir “término”, así por ejemplo un monomio es un término, un binomio, son dos términos y un trinomio son tres términos.
  • Se utiliza el concepto de cuadrado para especificar un exponente dos, el término cubo para expresar un exponente tres.

Existen los siguientes productos notables:

El cuadrado de la Suma de un Binomio.

Esto es, el resultado de la suma de dos términos elevado a dos.

( a + b )^2

Se puede proceder primero entendiendo que estos dos términos se multiplica por si mismo:

( a + b ) x ( a + b )

Esto se resuelve multiplicando el primer término del primer binomio por el primer término del segundo binomio ( o sea, “a x a”), el primer término del primer binomio por el segundo término del segundo binomio (o sea, “a x b”). Seguido a esto se multiplica el segundo término del primer binomio por el primer término del segundo binomio (o sea, “b x a”) y finalmente el segundo término del primer binomio por el segundo término del segundo binomio (o sea, ” b x b “); y dado que todos los signos son positivos, si multiplicamos más por más, nos da en todos los casos más. Quedaría:

a x a + a x b + b x a + b x b

Ordenando, el resultado final sería:

a^2 + 2ab + b^2

El cuadrado de la resta de un Binomio.

Esto es, el resultado de la resta de dos términos elevado a dos.

( a – b )^2

Al igual que en la explicación anterior, los dos términos se multiplican por sí mismo:

( a – b ) x ( a – b )

Esto se resuelve multiplicando el primer término del primer binomio por el primer término del segundo binomio ( o sea, “a x a”), el primer término del primer binomio por el segundo término del segundo binomio (o sea, “a x b”). Seguido a esto se multiplica el segundo término del primer binomio por el primer término del segundo binomio (o sea, “b x a”) y finalmente el segundo término del primer binomio por el segundo término del segundo binomio (o sea, ” b x b “); pero a diferencia de en el Cuadrado de la Suma, acá existen signos distintos que es importante considerar, consideremos que más por más es más, más por menos es menos, menos por más es menos y menos por menos es más. Quedaría:

a x a – a x b – b x a + b x b

Ordenando, el resultado final sería:

a^2 – 2ab + b^2

Suma por Diferencia.

En este caso, sería el resultado de dos términos sumados multiplicado por el resultado de dos términos restados.

(a + b) x (a – b)

Se procede como en las explicaciones anteriores, tomando en consideración los signos, quedaría:

a x a – a x b + b x a  – b x b

Finalmente,

a^2 – b^2

Quedaría sin “a x b” ya que existían dos, uno positivo y el otro negativo. Ambos se restan y da cero.

El Cubo de la suma de un binomio.

Con las explicaciones antes dadas, el cubo de la suma de un binomio quedaría:

( a + b )^3

Esto es:

( a + b ) x ( a + b ) x ( a + b )

Que sería lo mismo que decir:

( a + b )^2 x ( a + b ), entonces, habiendo definido El cuadrado de la suma de un binomio, primero resolvemos, luego este término se multiplica por el tercer binomio:

( a^2 + 2ab + b^2 ) x ( a + b )

En este caso habría que multiplicar el primer término del trinomio por el primer término del binomio, el primer término del trinomio por el segundo término del binomio, el segundo término del trinomio por el primer término del binomio, el segundo término del trinomio por el segundo término del binomio, el tercer término del trinomio por el primer término del binomio y el tercer término del trinomio por el segundo término del binomio; quedaría:

a^3 + a^2 b + 2 a^2 b + 2 a b^2 + a b^2 + b^3

ordenando, quedaría:

a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3

El Cubo de la resta de un binomio.

Sería

( a – b)^3

Sería lo mismo que:

( a – b)^2 x ( a – b)

Entonces, definido El cuadrado de la resta de un binomio, sería:

(a^2 – 2ab + b^2) x ( a – b)

El resultado sería:

a^3 – a^2 b – 2 a^2 b + 2 a b^2 + a b^2 – b^3

ordenando, quedaría:

a^3 – 3 a^2 b + 3 a b^2 – b^3

En el caso de El Cuadrado de la Suma de un Trinomio, Suma de dos cubos y Diferencia de dos cubos, el procedimiento es el mismo al explicado en los casos anteriores.