Evolución de los Números

La matemática se inició con la invención de los números para contar. Muchos utilizaron sus propios dedos de las manos y los pies como instrumentos de cálculo, contando así hasta veinte.

La matemática se inició con la invención de los números para contar. Muchos utilizaron sus propios dedos de las manos y los pies como instrumentos de cálculo, contando así hasta veinte. Los sistemas de numeración con base veinte están todavía presentes en las palabras francesas de ochenta y noventa, (Quatre-vingt) y (Quatre-vingt-dix) que significan “cuatro veintes” y “cuatro veintes y diez”.

Cualquiera que fuera el sistema que se utilizara para contar, los comerciantes de las primeras civilizaciones utilizaron guijas amontonadas en el suelo para representar los números contados. Probablemente de este método derivó el mecanismo de cálculo conocido como ábaco.

Las cuentas en el imperio inca del Perú las llevaba el denominado “gran tesorero” utilizando un ábaco con granos de maíz, trasladando después sus resultados a una larga cuerda. Los nudos hechos en cordeles hacían posible tener un registro permanente de los impuestos, los gastos y las estadísticas vitales. La serie de nudos hecha en una cuerda que sirve para contar se llama quipu.

La necesidad de contar, condujo a la humanidad a la primera noción de los números. Los números naturales han estado presentes en todas las civilizaciones y se han representado de distintas maneras. Los matemáticos de la india fueron los primeros en introducir símbolos individuales para cada uno de los números del 1 al 9.

Es probable que el símbolo “1” provenga del dedo levantado, que es la manera más sencilla y natural que tenemos para decir “uno”. Otra manera de indicar el uno, es por medio de una vara colocada en el suelo, por esa razón el uno se indicaba también por medio de una línea horizontal (-). El dos se expresaba por medio de dos líneas horizontales (=) y el tres por medio de tres líneas (=).

Escrito con rapidez el símbolo = se transformó en z, el cual a su vez, se convirtió en 2. De manera similar el símbolo = evolucionó hasta convertirse en el moderno 3.

El origen de los otros símbolos no es claro, lo cierto es que se fueron modificando en el transcurso de siglos hasta llegar a su forma actual.

Pitágoras, el famoso matemático griego que vivió en el siglo V a. C. creía que los números naturales gobernaban el universo. El número uno era considerado como el símbolo de la vida, de la creación y de la razón.

El cero.

El signo que utilizamos para el cero fue utilizado por primera vez en la india, aunque posiblemente sea de influencia griega a través de la palabra ouden que significa “nada”. Incluso pudiera ser que su origen estuviese en Alejandría y que de ahí pasara a la India.

Un hecho sorprendente es que este signo apareció, según los registros encontrados hasta este momento, casi dos siglos después que el resto de los signos numerales.

Durante el siglo VI d.C. el comercio comenzó a adquirir gran importancia en la india. Las necesidades de comercio condujeron a la noción del cero y al uso de los números enteros negativos. El cero permitió a los matemáticos de la india desarrollar el sistema posicional decimal que se usa en la actualidad. En este sistema es posible representar cada entero positivo a partir de los diez dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

No fue este sin embargo, el primer signo dedicado al cero (0), siglos antes de que en la India se inventase el que usamos en la actualidad, los mayas ya utilizaban en su numeración vigesimal un signo para el cero: .Unos dicen que se trata de un caracol, otros de un ojo semicerrado.

El sistema posicional decimal permitió a los matemáticos de la india desarrollar métodos eficientes para sumar y multiplicar números.

Cuando los árabes eran nómadas tenían palabras para los números, pero no símbolos. Los árabes adoptaron el sistema de numeración de la india y lo utilizaron ampliamente. En la primera mitad del siglo IX d.C., el matemático árabe Al-Khwartzmi escribió un libro donde explicaba con detalle el sistema de numeración. Los europeos que usaban hasta entonces los numerales romanos, comenzaron a llamar a los nuevos símbolos numerales “arábigos”.

El nombre Al-Khwartzmi, pronunciado “algortsmi” dio lugar a la palabra guarismo para indicar las cifras de un número. La palabra “algortsmi” también dio lugar a la palabra algoritmo para referirse a una sucesión finita de pasos para calcular algo.

Los números reales.

Los números negativos no fueron inmediatamente aceptados por los matemáticos europeos. En el siglo XVI los números irracionales positivos se usaban con mayor libertad, pero se evitaba usar números negativos, los cuales se consideraban “absurdos”.

A principios del siglo XVII se empezó a usar el signo menos para la resta y para denotar números negativos.

Pasó mucho tiempo antes de que los números reales fueran pensados intuitivamente como puntos en una recta dirigida, con los números positivos a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. No fue sino hasta la segunda mitad del siglo XIX cuando la noción del número real tuvo análisis crítico.

En 1872 Dedekind logró por fin capturar la esencia de la “continuidad” de la recta construyendo los números reales a partir de los números racionales.

La construcción rigurosa de los números reales permitió colocar al análisis matemático en una base sólida.

Los Números en la Historia.

Los babilónicos. Ciertamente, en cuanto al sistema numeral los babilónicos heredaron ideas de los sumerios y de los acadios. De los sistemas numerales de estos predecesores, provenía la base 60, es decir, el sistema sexagesimal. Sin embargo, ni el sistema acadio ni el sumerio eran posicionales, y este avance de los babilónicos fue indudablemente su mayor logro en el desarrollo del sistema numérico.
Aunque el sistema babilónico era un sistema posicional de base 60, contenía ciertos vestigios de un sistema de base 10. Esto es así porque cada uno de los 59 números que van en cada posición se construye con un símbolo de unidades y otro de decenas.

Los Egipcios: Los egipcios tenían un sistema jeroglífico en base 10 para los números. Tenían un símbolo diferente para la unidad, la decena, un centenar, un millar, para diez millares, cien millares y un millón.

Los aztecas: En México, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarrolló la civilización azteca, los aztecas crearon un sistema de cifras que conocemos a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. En ellos los escribas expresaban por escrito los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio reproduciendo cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeración se basa en el principio aditivo según el cual el valor de una representación se obtiene sumando los valores de las cifras. Era una numeración de base vigesimal (20).

Los mayas: Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 como base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres y cuatro puntos servían para 2, 3, y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20 con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos signos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20×20, 20x20x20… según el lugar que ocupe, y sumar el resultado.
Es por tanto un sistema posicional que se escribe de arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Los romanos: El sistema de números romanos carece del cero, por lo que se convierte en un sistema muy complicado al querer realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema de numeración, ha caído en desuso y solo se usa con fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto protocolo (para numerar: los siglos, los papas, los reyes, las reinas, etc.).

Bibliografía

• Mariano Perero, Historia e Historias de Matemáticas, Grupo Editorial Ibero América, 1994.

• Margaret F. Willerding, Los numerales Indoarábigos, en Antología de las matemáticas, Lecturas Universitarias, UNAM, 1971.

• Museo de las matemáticas (www.uaq.mx)