El Átomo de Bohr

En 1913, Niels Bohr desarrolló un nuevo modelo atómico para el cual tuvo en cuenta la cuantización de la energía, utilizando las ideas de Planck y Einstein.

En particular la relación entre la energía y la frecuencia de la radiación. Este nuevo modelo permitió explicar los espectros de absorción y emisión del átomo de hidrógeno y los iones hidrogenoides (con un solo electrón). Para desarrollar su modelo Bohr se basó en el modelo planetario introducido por Rutherford unos pocos años antes y estableció una serie de postulados.

Postulados de Bohr

En un átomo, el electrón tiene únicamente ciertos estados definidos estacionarios de movimiento que le son permitidos; cada uno de estos estados estacionarios tiene una energía fija y definida.
Cuando un átomo está en uno de estos estados no irradia; pero al cambiar de un estado de alta energía a un estado de energía inferior, el átomo emite un cuanto de radiación (Según Bohr las series que aparecían en el espectro de emisión del hidrógeno podían explicarse como la emisión de energía que sufren los electrones al pasar de un nivel cuántico de mayor energía a un nivel cuántico de menor energía. Esa diferencia de energía sería emitida bajo forma de radiación de frecuencia hn.) cuya energía hn es igual a la diferencia de energía entre los dos estados.
En cualquiera de estos estados, el electrón se mueve siguiendo una órbita circular alrededor del núcleo.
Los estados de movimiento electrónico permitidos son aquellos en los cuales el movimiento angular del electrón es un múltiplo entero de h/2.

De estos cuatro postulados, los dos primeros son correctos y la teoría cuántica moderna los retiene. El cuarto postulado es parcialmente correcto; el momento angular de un electrón es fijo, pero no exactamente de la manera que Bohr propuso. El tercer postulado es totalmente incorrecto, y no aparece en la teoría cuántica moderna.

Estos postulados quedan expresados matemáticamente por las ecuaciones de Bohr:

Ecuaciones de Bohr

Según el modelo de Bohr el átomo de hidrógeno podía ser descrito como formado por un electrón de masa m y carga e moviéndose alrededor de un núcleo de carga Z, en una órbita circular de radio r, a una velocidad v. Si consideramos que la masa del núcleo es muchísimo mayor que la masa del electrón podemos suponer sin equivocarnos demasiado, que el núcleo se encuentra estacionario.

El electrón tendrá en esas condiciones una energía total a la que llamaremos E. Esta energía tendrá una componente cinética,

Ec=1/2 mv2

Y un componente de energía potencial electrostática, la que depende de la distancia al núcleo, esto es, del radio r de la órbita electrónica y que será

Ep = -Ze2/r.

Por lo tanto tenemos que
E = 1/2 mv2 – Ze2/r (1)

Sobre el electrón actúan dos fuerzas, la fuerza centrífuga debida a su movimiento angular y una fuerza de carácter electrostático:

Fc = mv2/r Fe = -Ze2/r2

Como el electrón se encuentra girando en una órbita de r constante, estas dos fuerzas deben estar balanceadas y por lo tanto:
Fc = Fe

Entonces:
mv2/r = Ze2/r2 (2)
Por lo tanto si sustituimos en (1): E = Ze2/2r – Ze2/r2 = -Ze2/r = -1/2 mv2 (3)

De acuerdo con el primer postulado de Bohr el electrón gira en una órbita de radio r solamente si su momento angular, mvr, vale nh/2P . Donde n es un número entero y h la constante de Planck.

Entonces:
v = 2P2 me2Z/nh (4)

y por lo tanto E = -2P2 me4Z2/n2h2 (5)

Como vemos la energía total del electrón depende de n, lo que significa que la misma no puede tomar cualquier valor, es decir está cuantizada; el valor de menor energía para el átomo de hidrógeno se obtiene cuando n = 1. Este estado de menor energía se conoce como estado fundamental.

No sólo la energía de los elctrones está cuantizada sino que también lo están las posibles órbitas en las que el electrón pude moverse:
r = n2h2 / 4P2me2Z

y habrá por lo tanto un radio que corresponda al estado fundamental:

r = h2 / 4P2me2Z

r = 0.53 A°