Ecuaciones lineales

Descubre cómo modelar y resolver una ecuación lineal.


Constantemente en la vida se ven situaciones en las que se plantean ideas o hechos que podemos modelar matemáticamente a partir de una ecuación. Es por eso que la ecuación es una herramienta importantísima para el quehacer cotidiano, muchas veces la utilizamos y no lo notamos. Es importante recordar que una ecuación matemática, intenta emular el funcionamiento de una balanza, mantiene en equilibrio un sistema de manera que se mantenga una igualdad.

¿Cómo modelar una ecuación lineal?

Para encontrar el valor de una incógnita en un contexto o situación determinada, debemos modelar matemáticamente el problema de modo que puedas encontrar una ecuación que nos ayude a encontrar el valor de la incógnita.

Veamos el siguiente ejemplo.

Pedro todos los meses guarda dinero de su mesada para comprar un balón de fútbol que cuesta 9900 pesos. Si tiene ahorrado 6790 pesos. ¿cuánto dinero le faltará a Pedro para comprar el balón de fútbol?

Si tiene ahorrado 6790 pesos si le sumamos lo que falta nos dará el valor de la pelota, es decir:

6790+x=9990

Sin darte cuenta has utilizado este modelo de ecuación varias veces. Como cuando compras algo en un quiosco y te dan vuelto, o cuando calculas cuentas los minutos que faltan para salir a clases, entre otras.

Veamos otro tipo de ejercicio de ecuaciones.

Un niño le dice a su padre que le regale un auto 0 kilómetros. El padre se rió y le dijo a su hijo que se lo regalará, a lo que el niño le pregunto de inmediato que cuando lo haría, el padre respondió, cuando tengas el doble de mi edad menos 35 años. Si el padre tiene 30 años y el niño 5. ¿En cuántos años más le regalará el auto?

5+x=2*30-35

Éste es un típico ejercicio de edades, generalmente se ven complicados pero deben resolverse de manera metódica y ordenada para no equivocarse en el planteamiento.

Veamos un último ejercicio para pasar a la resolución de ecuaciones.

Si la suma de tres números consecutivos es 120. ¿Cuáles serán estos números?

Si son 3 números consecutivos entonces tendrán la siguiente forma, x, (x+1), (x+2). Por lo tanto, el  planteamiento asociado será:

 x+(x+1)+(x+2)=120

Recuerda que para modelar ecuaciones, debes ser cuidadoso para no equivocarte en el planteamiento matemático que estás realizando.

¿Cómo resolver una ecuación lineal?

Como se mencionó anteriormente una ecuación es como una balanza. Para encontrar la solución en una ecuación debemos despejar la incógnita, para eso tenemos que hacer un conjunto de operaciones hasta poder lograr dejar solamente el valor que buscamos. Las operaciones que realices deberán hacerse a los dos lados de la ecuación, si sumas un número a un lado de la igualdad también deberás hacerlo al otro lado, si multiplicas por un término a un lado deberás hacer lo mismo al otro lado. Al igual que en una balanza debes agregar o quitar el mismo peso para poder seguir manteniendo el equilibrio.

Analicemos la resolución de una ecuación a partir de un ejemplo.

Tomemos el ejemplo de los números consecutivos.

x+(x+1)+(x+2)=120        / sumamos términos semejantes

3x+3=120                            /restamos 3 a ambos lados

3x=117                                 /dividimos por 3 a ambos lados

x=39

Tenemos que despejar la variable haciendo operaciones que vallan eliminando todos los términos  que acompañen a la variable, de modo de que siempre quede sola nuestra incógnita.

Ecuaciones lineales con coeficientes racionales

Recuerda que los coeficientes racionales se refieren a valores decimales o de fracción. Entonces, ¿cómo se puede resolver un ejercicio de este tipo?

La clave para este tipo de ejercicio, es pasar de una ecuación con coeficientes racionales a coeficientes enteros. Para ésto debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre los valores racionales que estés trabajando en la ecuación. Recuerda que el mínimo común múltiplo es el valor natural más pequeño que es múltiplo de los términos. Una vez que tengas el MCM, multiplicas a ambos lados por él.

Veamos un ejemplo.

En un partido de fútbol, \frac{1}{4} partes de un estadio está ocupado. Si fueron \frac{1}{6} de los 300.000 hinchas del club. ¿Qué capacidad tiene el estadio?

\frac{1}{4}*x=\frac{1}{6}*300.000

El mínimo común múltiplo entre 4 y 6, es 12. Multiplicaremos a ambos lados por 12.

\frac{1}{4}x*12=\frac{1}{6} * 300.000 * 12 / simplificamos términos
3*x = 600.000 / dividimos por 3 a ambos lados
x = 200.000

Por lo tanto, el estadio tendrá una capacidad de 200.000 personas.