Operaciones con números complejos

Cómo realizar operaciones básicas como: suma, resta, multiplicación y división con números complejos.


Definición

Los números complejos son un conjunto de números, los cuales poseen una parte real y una parte imaginaria se expresan de la siguiente manera :

z=a+bi

donde z corresponde a un número complejo , “a” corresponde a la parte real y “b” corresponde a la parte imaginaria. El numero “i” corresponde a la raíz de -1 que como no existe en la matemática es imaginaria. Además, cada numero complejo puede escribirse también como un par ordenado (a,b).

Suma ,resta, multiplicación y división con números complejos

En el trabajo con números complejos también se dan las operaciones básicas , pero sin embargo existen procedimientos diferentes que con los números reales , pues los numero complejos tienen una particularidad especial , la cual es que poseen una parte que no está definida en los numero reales que se conoce como parte imaginaria a continuación se explica en detalle cómo resolver las operaciones básicas .

Suma

Para sumar números complejos basta con sumar sus partes reales y sumar sus partes imaginarias de la siguiente manera:

z1=a+bi

z2=c+di

z1+z2=(a+c)+(b+d)i

donde (a+c) va a ser igual a la parte real del número complejo resultante

y (b+d) corresponde a su parte imaginaria.

Resta

Para restar número complejos se restan las partes reales y las partes imaginarias de la siguiente manera:

z1=a+bi

z2=c+di

z1-z2=(a-c)+(b-d)i

en donde (a-c) corresponde a la parte real del número complejo resultante y (b-d) corresponde a su parte imaginaria.

Multiplicación

Para multiplicar números complejos se usa la propiedad distributiva de la multiplicación tal cual se realiza cuando se multiplican dos monomios en álgebra, hay que tener en cuenta que i*i=-1 , por lo tanto se realiza de la siguiente manera:

(a+bi)*(c+di)=ac +aci+bci+bd*(i^2)

desarrollando:

(a+bi)*(c+di)= (ac-bd)+(ac+bc)i

en donde (ac-db) corresponde a la parte real y (ac+bc) corresponde a la parte imaginaria.

División

Para dividir números complejos es necesario que en el denominador no exista una parte compleja por lo tanto lo que se realiza es amplificar la fracción por el conjugado del número complejo que se encuentra en el denominador para de esa forma crear una “suma por su diferencia” de la siguiente manera:

\frac{(a+bi)}{(c+di)}=\frac{(a+bi)*(c+di)}{(c+di)*(c+di)}

Desarrollando la amplificación en numerador y denominador queda de la siguiente manera

\frac{(a+bi)}{(c+di)}=\frac{(ac+adi+bci-bd)}{(c^2-di^2)}/

luego la expresión queda como sigue:

\frac{(a+bi)}{(c+di)}=\frac{(ac-bd)+(ad+bc)i}{(c^2+d)}

Ejercicios resueltos

1.-Se tiene el número complejo z1=2+3i y se quiere sumar con el número complejo z2=4+5i.

Desarrollo

Primero se procede a sumar las partes enteras del primer número complejo con la parte entera del segundo, luego la parte imaginaria del primer número complejo con la del segundo como sigue:

z1+z2=(2+4)+(5+3)i

Luego desarrollando el resultado final queda como sigue:

z1+z2=6+8i

Y escrito como par ordenado sería: (6,8)

2.-Suponga que se desea restar al número complejo z1=5+7i el numero complejo z2=3-11i.

Desarrollo

Primero se procede a restar la parte real del primer vector con la parte real del segundo vector y luego se resta la parte imaginaria del primer vector con la parte imaginaria del segundo vector como se muestra a continuación

z1-z2=(5-3)+(7–11)i=2+(7+11)i

Luego el resultado queda de la siguiente manera:

z1-z2=2+18i

Y escrito como par ordenado seria:(2,18)

3. Suponga que se desea multiplicar los números complejos “z1″=1+1i y “z2″=3+5i , encuentre el producto.

Desarrollo

Tal como se explicó anteriormente usamos la propiedad distributiva de la multiplicación tal cual como si se estuviera multiplicando algebraicamente un binomio por un binomio.

(1+1i)*(3+5i)=1*3+1*5i+1i*3+1i*5i

Luego desarrollando se obtiene:

(1+1i)*(3+5i)=3+5i+3i-5=-2+8i

Escrito como par ordenado queda:(-2,8)

Nota: hay que tener en cuenta que “i”*”i”=-1 por eso que al multiplicar 1i*5i da como resultado -5 .

4.-Suponga que se desea dividir los números complejos (5-7i) por el número complejo (2+i), obtenga el cociente.

Desarrollo

Tal como se explicó anteriormente es necesario amplificar (5-7i)/(2+i)la fracción por el conjugado del denominador 2-“i” , por lo cual queda como sigue :

\frac{(5-7i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}

Resolviendo en el numerador y en el denominador se obtiene:

\frac{(10-5i-14i-7)}{2+1}=\frac{3-19i}{3}=1-\frac{19}{3}i