Productos Notables

Los productos notables son multiplicaciones de dos expresiones algebraicas que pueden resolverse por medio de ciertas reglas sin efectuar las multiplicaciones correspondientes. A continuación se muestran cada uno de estos productos, su fórmula, una breve explicación y un ejemplo práctico.


Binomio al cuadrado

Fórmula

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Explicación

Primero elevamos al cuadrado el primer término.
(a)^2=(a)(a)=a^2
Luego multiplicamos por 2 el producto de los términos.
2(a)(b)=2ab
Por último elevamos al cuadrado el segundo término.
(b)^2=(b)(b)=b^2

Ejemplo

Resolver (2/3 m^2-3/4 mn^3 )^2

Solución

Primero elevamos al cuadrado el primer término.
(2/3 m^2)^2=(2/3 m^2 )(2/3 m^2 )=4/9 m^4
Luego multiplicamos por 2 el producto de los términos.
2(2/3 m^2 )(-3/4 mn^3 )=-m^3 n?^3
Por último elevamos al cuadrado el segundo término.
(3/4 mn^3)^2=(3/4 mn^3 )(3/4 mn^3 )=9/16 m^2 n^6
Y escribimos el resultado:
(2/3 m^2-3/4 mn^3 )^2=4/9 m^4-m^3 n^3+9/16 m^2 n^6

Binomio al cubo

Fórmula

(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3

Explicación

Primero elevamos al cubo el primer término.
(a)^3=(a)(a)(a)=a^3
Luego multiplicamos por 3 el producto del cuadrado del primer término por el segundo término.
3(a)^2 (b)=3a^2 b
Luego multiplicamos por 3 el producto del primer término por el cuadrado del segundo término.
3(a) (b)^2=3ab^2
Por último elevamos al cubo el segundo término.
(b)^3=(b)(b)(b)=b^3

Ejemplo

Resolver (2/3 m^2-3/4 mn^3 )^3

Solución

Primero elevamos al cuadrado el primer término.
(2/3 m^2)^3=(2/3 m^2 )(2/3 m^2 )(2/3 m^2 )=8/27 m^6
Luego multiplicamos por 3 el producto del cuadrado del primer término por el segundo término.
3(2/3 m^2 )^2 (-3/4 mn^3 )=3(4/9 m^4 )(-3/4 mn^3 )=-m^5 n^3
Luego multiplicamos por 3 el producto del primer término por el cuadrado del segundo término.
3(2/3 m^2 ) (-3/4 mn^3 )^2=3(2/3 m^2 )(9/16 m^2 n^6 )=9/8 m^4 n^6
Por último elevamos al cubo el segundo término.
(-3/4 mn^3)^3=(-3/4 mn^3 )(-3/4 mn^3 )(-3/4 mn^3 )=-27/64 m^3 n^9
Y escribimos el resultado:
(2/3 m^2-3/4 mn^3 )^3=8/27 m^6-m^5 n^3+9/8 m^4 n^6-27/64 m^3 n^9

Binomios conjugados

Fórmula

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Explicación

Primero elevamos al cuadrado el primer término.
(a)^2=(a)(a)=a^2
Luego elevamos al cuadrado el segundo término.
(b)^2=(b)(b)=b^2
Y por último hacemos la diferencia y listo.
a^2-b^2

Ejemplo

Resolver (2/3 m^2+3/4 mn^3 )(2/3 m^2-3/4 mn^3 )

Solución

Primero elevamos al cuadrado el primer término.
(2/3 m^2)^2=(2/3 m^2 )(2/3 m^2 )=4/9 m^4
Luego elevamos al cuadrado el segundo término.
(-3/4 mn^3)^2=(-3/4 mn^3 )(-3/4 mn^3 )=9/16 m^2 n^6
Y por último hacemos la diferencia y listo.
(2/3 m^2+3/4 mn^3 )(2/3 m^2-3/4 mn^3 )=4/9 m^4-9/16 m^2 n^6

Trinomio al cuadrado

Fórmula

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

Explicación

Primero elevamos al cuadrado el primer término.
(a)^2=(a)(a)=a^2
Luego elevamos al cuadrado el segundo término.
(b)^2=(b)(b)=b^2
De la misma manera elevamos al cuadrado el tercer término.
(c)^2=(c)(c)=c^2
Posteriormente multiplicamos por 2 el producto de los dos primeros términos.
2(a)(b)=2ab
A continuación multiplicamos por 2 el producto del primero y tercer términos.
2(a)(c)=2ac

Y por último multiplicamos por 2 el producto de los dos últimos términos.
2(b)(c)=2bc

Ejemplo

Resolver (2/3 m^2+ 5/8 mn-3/4 mn^3 )^2

Solución:

Primero elevamos al cuadrado el primer término.
(2/3 m^2)^2=(2/3 m^2 )(2/3 m^2 )=4/9 m^4
Luego elevamos al cuadrado el segundo término.
(5/8 mn)^2=(5/8 mn)(5/8 mn)=25/64 m^2 n^2
De la misma manera elevamos al cuadrado el tercer término.
(-3/4 mn^3)^2=(-3/4 mn^3 )(-3/4 mn^3 )=9/16 m^2 n^6
Posteriormente multiplicamos por 2 el producto de los dos primeros términos.
2(2/3 m^2 )(5/8 mn)=5/6 m^3 n
A continuación multiplicamos por 2 el producto del primero y tercer términos.
2(2/3 m^2 )(-3/4 mn^3 )=-m^3 n^3
Y por último multiplicamos por 2 el producto de los dos últimos términos.
2(5/8 mn)(-3/4 mn^3 )=-15/16 m^2 n^4
Y escribimos el resultado:
(2/3 m^2+ 5/8 mn-3/4 mn^3 )^2=4/9 m^4+25/64 m^2 n^2+9/16 m^2 n^6+5/6 m^3 n-m^3 n^3-15/16 m^2 n^4

Producto de binomios de la forma (x+a)(x+b)

Formula

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

Explicación

Primero elevamos al cuadrado el primer término.
(x)^2=(x)(x)=x^2
Luego sumamos las constantes a y b y lo multiplicamos por x.
(a+b)x
Por último multiplicamos las constantes a y b.
ab

Ejemplo

Resolver (m+3/4)(m-1/2)

Solución

Primero elevamos al cuadrado el primer término.
(m)^2=(m)(m)=m^2
Luego sumamos las constantes 3/4 y -1/2 y lo multiplicamos por m.
[3/4+(-1/2)]m=(3/4-1/2)m=1/4 m
Por último multiplicamos las constantes 3/4 y -1/2 .
(3/4)(-1/2)=-3/8
Y escribimos el resultado:
(m+3/4)(m-1/2)=m^2+1/4 m-3/8

Producto de binomios de la forma (ax+b)(cx+d)

Formula

(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd

Explicación

Primero multiplicamos los términos con literal x.
(ax)(cx)=acx^2
Luego sumamos el producto de los coeficientes de los extremos y los términos medios y los multiplicamos por x.
[(a)(d)+(b)(c)]x=(ad+bc)x
Por último multiplicamos las constantes b y d.
(b)(d)=bd

Ejemplo

Resolver (2/3 m+3/4)(1/3 m-1/2)

Solución

Primero multiplicamos los términos con literal m.
(2/3 m)(1/3 m)=2/9 m^2
Luego sumamos el producto de los coeficientes de los extremos y los términos medios y los multiplicamos por m.
[(2/3)(-1/2)+(3/4)(1/3)]m=(-1/3+1/4)m=-1/12 m
Por último multiplicamos las constantes 3/4 y -1/2 .
(3/4)(-1/2)=-3/8
Y escribimos el resultado:
(2/3 m+3/4)(1/3 m-1/2)=2/9 m^2-1/12 m-3/8